Solucion de ecuaciones diferenciales

Métodos de un paso

Los métodos de un paso tienen por objetivo obtener una aproximación de la solución de un problema bien planteado de valor inicial en cada punto de la malla, basándose en el resultado obtenido para el punto anterior.

Se desarrollan aquí los métodos Taylor (incluyendo Euler), y de Runge Kutta. Para ver el detalle de cada uno de los métodos, hacer click en cada uno de los siguientes vínculos. Para volver a esta página, hacer click en la solapa "métodos de un paso".

¿Cómo decidir qué método aplicar?

Hay dos cuestiones importantes que deben tenerse en cuenta al evaluar un algoritmo:

El esfuerzo computacional requerido para ejecutarlo.
La precisión que este esfuerzo produce.

Para los algoritmos vistos, el mayor esfuerzo se presenta en la evaluación de f. El algoritmo de Euler hace una evaluación de f por paso y el de RK4 hace cuatro, mientras que los de Taylor, tienen la complicación de evaluar las derivadas de f en cada paso. Por esta razón, y dado que un método de Runge-Kutta de orden m tiene la misma precisión que el método de Taylor de igual orden, es que los métodos de Taylor no se utilizan con fines prácticos.

Por lo dicho anteriormente, el método RK4 requiere cuatro veces más esfuerzo por paso. Este hecho puede resultar engañoso ya que suele obtenerse con pocos pasos de RK4 la misma precisión que con cientos del método de Euler. Por ejemplo, analicemos los resultados obtenidos al aplicar ambos procedimientos en el siguiente PVI:

La solución exacta de este problema está dada por y = 2 + 2 t + et. El valor aproximado de y(1) obtenido con los métodos de Euler y Runge Kutta y con distintos pasos para cada uno de ellos, arrojó los resultados tabulados en la tabla siguiente:

Se observa en esta tabla que al reducir el tamaño del paso en un factor 10, se reduce el error un factor 10 para el método de Euler, y un factor 10000 para el método de Runge-Kutta de orden 4. Esto es consecuencia del error global de cada método.

Consistencia, estabilidad y convergencia

Hay algunas propiedades importantes de las ecuaciones en diferencias para problemas de valor inicial de EDOs de primer orden que deben considerarse antes de que se pongan en práctica los métodos numéricos. Ellas son consistencia, estabilidad y convergencia.

Se dice que una ecuación en diferencias es consistente con una EDO si la diferencia entre ambas (el error de truncamiento) se acerca a cero a medida que el paso h tiende a cero. En símbolos, si llamamos ti(h) al error local de truncamiento, podemos decir:

Con este concepto se analiza la relación entre la ecuación diferencial y su formulación discreta. Cuando se conoce el error de truncamiento, es fácil probar la consistencia. Cuando no se conoce, debe analizarse la ecuación en diferencias completa para probar la consistencia, utilizando el desarrollo de Taylor.

Un método es estable si produce soluciones acotadas cuando la solución exacta es acotada y es inestable cuando produce una solución no acotada cuando la solución exacta es acotada.

Hay varias definiciones de estabilidad. Informalmente, se dice que un método es inestable si los errores en las aproximaciones crecen en forma exponencial a medida que el cálculo avanza.

Por último, se dice que un método de la ecuación en diferencias de un paso es convergente respecto a la ecuación diferencial que aproxima, si

Con la convergencia se analiza la relación entre la solución numérica y la solución exacta de la ecuación diferencial. Si se cumplen las condiciones de estabilidad y consistencia en un problema bien planteado, entonces podremos asegurar la convergencia.

El método de Runge–Kutta de orden 4 no presenta inestabilidad numérica para valores de h suficientemente pequeños. Pero para el método de Euler estudiado no se puede decir lo mismo.

Por ejemplo, utilicemos este método para resolver el problema:

La solución exacta de esta ecuación está dada por y(t) = e-t, siendo una función acotada.

La ecuación del método de Euler resulta

yn+1 = yn + h (- yn) = (1 – h) yn = G yn

Aplicando reiteradamente esta fórmula podemos expresar entonces la solución aproximada en función de y0:

yn+1 = (1 – h)n+1 y0 , n = 1, …, N.

Se ve en esta ecuación que la solución discreta va a ser acotada siempre que la constante 1-h sea menor a uno en valor absoluto. Esto implica que h debe ser menor a 2, aunque el comportamiento óptimo se da para valores de h entre 0 y 1. Por lo tanto, la solución obtenida con el método de Euler será estable siempre que h sea menor que 2. El hecho de que la estabilidad del método dependa del valor de h, hace que el método sea condicionalmente estable.

Este análisis de estabilidad puede hacerse sólo para ecuaciones diferenciales lineales. En el caso de ecuaciones diferenciales no lineales, deben primero linealizarse localmente, y realizar un análisis de estabilidad en la ecuación de diferencias que aproxima a la ecuación diferencial linealizada.

Metodo de Pasos Multiples

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

Observe la ecuación ec. 2 alcanza ) a expensas de emplear un tamaño de paso mas grande, 2h. Además, observe que la ecuación ec. 1 no es de autoinicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podria no estar disponible en un problema común de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones 26.11 y 26.12 son llamadas método de Heun de no autoinició.

Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada de la ecuación 26.12 se localiza ahora en el punto medio mas que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la predicción. Como se demostrara después, esta ubicación centrada mejora el error del predictor a Sin embargo, antes de proceder a una deducción formal del método de Heun de no autoinicio, resumiremos el método y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:

La ecuación se puede aplicar de manera iterativa hasta que Ea esté por debajo de un valor pre especificado de Es. Como fue el caso con el método de Heun, las iteraciones convergen sobre un valor de 6.360865. Sin embargo, como el valor del predictor inicial es más exacto, el método de multipaso converge una razón algo más rápida.
Para el segundo paso, el predictor es:

Sistema de ecuaciones diferenciales ordinaria

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son procedimientos utilizados para encontrar aproximaciones numericas a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Su uso también se conoce como integración numérica, aunque este término a veces se toma para significar el cálculo de una integración.

Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse usando funciones típicas ("análisis"). Sin embargo, a efectos prácticos, como en ingeniería, una aproximación numérica a la solución suele ser suficiente. Los algoritmos estudiados aquí pueden usarse para calcular tal aproximación. Un método alternativo es utilizar técnicas de cálculo infinitesimal para obtener una expansión en serie de la solución.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se presentan en muchas disciplinas científicas, por ejemplo, en física, química, biología y economía. Además, algunos métodos en ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten una ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que luego debe resolverse. (solve by: Wellington Castillo)

El problema[editar]

Una ecuación diferencial de primer orden es un problema de valor inicial (PVI) de la forma,1

y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad \qquad (1)

donde f es una función que asigna [t0,∞) × Rd a Rd, con la condición inicial y0 ∈ Rd es un vector dado. Primer orden significa que solo la primera derivada de y aparece en la ecuación, y las derivadas más altas están ausentes.

Sin pérdida de generalidad en los sistemas de orden superior, en este artículo se restringe la explicación a las ecuaciones diferenciales de "primer orden", porque un EDO de orden superior se puede convertir en un sistema más grande de ecuaciones de primer orden mediante la introducción de variables adicionales. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden y'' = -y puede reescribirse como dos ecuaciones de primer orden: y' = z y z' = -y.

En esta sección, se describen métodos numéricos para los PVI, teniendo en cuenta que los problemas de condición de frontera (PCF) requieren un conjunto diferente de herramientas. En un PCF, se definen valores o componentes de la solución y en más de un punto. Debido a esto, se deben usar diferentes métodos para resolverlo. Por ejemplo, el método de disparo (y sus variantes) o métodos globales como las diferencias finitas, el método de Galerkin o el método de colocación son apropiados para esa clase de problemas.

El teorema de Picard-Lindelöf establece que existe una solución única, siempre que f sea lipschitzianamente continua.

Métodos[editar]

Los métodos numéricos para resolver PVI de primer orden a menudo se dividen en una de estas dos grandes categorías: método lineal multipaso o método de Runge-Kutta. Se puede lograr una separación adicional dividiendo los métodos en aquellos que son explícitos y aquellos que son implícitos. Por ejemplo, los métodos lineales multipaso implícitos incluyen el método de Adams-Moulton y la fórmula de diferenciación hacia atrás (FDA), mientras que el método de Runge-Kutta2 incluye Runge-Kutta diagonalmente implícito (RKDI), Runge-Kutta diagonalmente implícito simple (RKDIS) y Gauss-Radau (basado en la cuadratura gaussiana). Los ejemplos explícitos de la familia lineal multipaso incluyen el método lineal multipaso, y cualquier método de Runge-Kutta con una diagonal inferior es explícito. Una regla general suelta dicta que las ecuaciones diferenciales rígidas requieren el uso de esquemas implícitos, mientras que los problemas no rígidos se pueden resolver de manera más eficiente con esquemas explícitos.

Los llamados métodos lineales generales (MLG) son una generalización de las dos grandes clases de métodos anteriores.

Método de Euler[editar]

Artículo principal: Método de Euler

Desde cualquier punto de una curva, se puede encontrar una aproximación de otro punto cercano en la curva moviéndose una corta distancia sobre una línea tangente a la curva.

Comenzando con la ecuación diferencial (1), se reemplaza la derivada y' por la aproximación respecto a una diferencia finita

y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}},\qquad \qquad (2)

que cuando se reorganiza produce la siguiente fórmula

y(t+h)\approx y(t)+hy'(t)\qquad \qquad

y usando (1) da:

y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t)).\qquad \qquad (3)

Esta fórmula generalmente se aplica de la manera que se explica a continuación.

Se elige el tamaño de paso h y se construye la secuencia t0, t1 = t0 + h, t2 = t0 + 2h, ... Denotando por yn una estimación numérica de la solución exacta y(tn).

De acuerdo con (3), se calculan estas estimaciones mediante el siguiente esquema recursivo: $y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\qquad \qquad (4)$ Este es el método de Euler (en contraste con el método de Euler hacia atrás, que se describe a continuación). El método lleva el nombre de Leonhard Euler que lo describió en 1768.

Es un ejemplo de un método explícito. Esto significa que el nuevo valor yn+1 se define en términos de datos que ya se conocen, como yn.

Método de Euler hacia atrás[editar]

Artículo principal: Método de Euler hacia atrás

Si, en lugar de (2), se usa la aproximación

y'(t)\approx {\frac {y(t)-y(t-h)}{h}},\qquad \qquad (5)

se obtiene el "método de Euler hacia atrás":

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).\qquad \qquad (6)

Esto implica que se trata de un método implicito, lo que significa que previamente se debe resolver otra ecuación con el fin de encontrar yn+1. Para ello, a menudo se usa el método del punto fijo o alguna modificación del método de Newton-Raphson.

Sin embargo, normalmente cuesta más tiempo resolver esta ecuación que los cálculos de los métodos explícitos. Este costo debe tenerse en cuenta cuando se selecciona el método a utilizar. La ventaja de los métodos implícitos como (6) es que generalmente son más estables para resolver una ecuación rígida, lo que significa que se puede usar un tamaño de paso h más grande.

Método integrador exponencial de primer orden[editar]

Artículo principal: Integrador exponencial

Los integradores exponenciales describen una gran clase de métodos que han experimentado un gran desarrollo.3 Si origen se remonta al menos a la década de 1960.

En lugar de (1), se asume que la ecuación diferencial es cualquiera de la forma

y'(t)=-A\,y+{\mathcal {N}}(y),\qquad \qquad \qquad (7)

o se ha linealizado localmente sobre una forma original para producir un término lineal $-Ay$ y un término no lineal ${\mathcal {N}}(y)$ .

Los integradores exponenciales se construyen multiplicando (7) por $e^{At}$ e integrando exactamente el resultado sobre un intervalo de tiempo $[t_{n},t_{n+1}=t_{n}+h]$ :

y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+\int _{0}^{h}e^{-(h-\tau )A}{\mathcal {N}}\left(y\left(t_{n}+\tau \right)\right)\,d\tau .

Esta ecuación integral es exacta, pero no define la integral.

El integrador exponencial de primer orden se puede determinar manteniendo ${\mathcal {N}}(y(t_{n}+\tau ))$ constante durante todo el intervalo:

y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+A^{-1}(1-e^{-Ah}){\mathcal {N}}(y(t_{n}))\ .\qquad \qquad (8)

Generalizaciones[editar]

El método de Euler a menudo no es lo suficientemente exacto. En términos más precisos, solo tiene orden uno (el concepto de orden se explica a continuación). Esto hizo que los matemáticos buscaran métodos de orden superior.

Una posibilidad es usar no solo el valor previamente calculado yn para determinar yn+1, sino hacer que la solución dependa de más valores calculados previamente. Esto produce el llamado "método de varios pasos". Quizás el más simple es el método del salto de rana, que es de segundo orden y (más o menos) se basa en dos valores previos cada vez.

Casi todos los métodos prácticos de varios pasos pertenecen a la familia del método lineal multipaso, que tienen la forma

\alpha _{k}y_{n+k}+\alpha _{k-1}y_{n+k-1}+\cdots +\alpha _{0}y_{n}

=h\left[\beta _{k}f(t_{n+k},y_{n+k})+\beta _{k-1}f(t_{n+k-1},y_{n+k-1})+\cdots +\beta _{0}f(t_{n},y_{n})\right].

Otra posibilidad es usar más puntos en el intervalo [tn, tn+1]. Esto lleva a la familia del método de Runge-Kutta, llamada así por Carl Runge y Martin Wilhelm Kutta. Uno de sus métodos de cuarto orden es especialmente popular.

Aplicaciones

1. Predicción de ventas: Supongamos que tienes datos históricos de ventas de un producto y quieres predecir las ventas futuras en función de variables como el precio, la publicidad y la temporada del año. Puedes utilizar la regresión para construir un modelo que relacione estas variables con las ventas y hacer predicciones basadas en el modelo.

2. Análisis de mercado: Si estás interesado en entender cómo ciertas variables influyen en el comportamiento de compra de los consumidores, puedes utilizar la regresión para analizar la relación entre esas variables y las decisiones de compra. Por ejemplo, podrías investigar cómo la edad, el ingreso y el nivel educativo afectan las preferencias de compra de los consumidores.

3. Evaluación de impacto: Imagina que estás implementando un programa de capacitación laboral y quieres evaluar su efectividad en términos de mejora en los salarios de los participantes. Puedes utilizar la regresión para comparar los salarios antes y después de la capacitación y determinar si hay un impacto significativo atribuible al programa.

4. Estimación de precios de bienes raíces: Si estás interesado en determinar el valor de una propiedad en función de características como el tamaño, la ubicación y el número de habitaciones, puedes utilizar la regresión para construir un modelo que estime el precio de la propiedad basado en esas variables.

5. Análisis de rendimiento financiero: Si deseas comprender cómo ciertas variables económicas afectan el rendimiento de una empresa, puedes utilizar la regresión para analizar la relación entre variables como los ingresos, los gastos, las tasas de interés y el rendimiento financiero de la empresa.

Estos son solo algunos ejemplos de cómo se pueden aplicar la regresión y los mínimos cuadrados en diferentes contextos. La versatilidad de estos métodos permite abordar una amplia gama de problemas en diversos campos, desde el análisis de datos empresariales hasta la investigación científica y social.

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