Diferenciación e integración numérica
Diferenciación numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por
lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce
únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función
representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos
técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de
error de dichas formulas.
Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x)
en el punto "x" está dada en términos del límite:
De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:
(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula
numérica para aproximar la derivada:
Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta fórmula, tratemos de contestar
la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema
de Taylor sabemos que:
Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta fórmula por f'(x) y
usamos la definición de tenemos que:
Esta fórmula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e.,
O(h). Formulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para
obtener fórmulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x).
Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando
el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:
Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:
Donde
y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos aqui una fomula de orden dos para f"(x).
Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga que son puntos
distintos y sea pn(x) el polinomio que interpola a f(x) en estos puntos. Entonces
aproximamos f '(x) por:
Suponga que . Se puede demostrar que
Aunque no discutiremos en más detalles este método para aproximar derivadas, si
mencionamos que las dos formulas que discutimos para aproximar f '(x) se pueden
obtener usando polinomios de interpolación de grados uno y dos respectivamente.
4.2 Integración numérica
En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de
algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión,
el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver
ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a
cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si
se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más
dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una
solución aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial
para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados
para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden
ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos
desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral
definida.
Razones para la integración numérica
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede
ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir,
integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática
avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos
numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser
calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución
analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la
solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación,
que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser
tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en
las primeras cifras decimales.
4.3 Integración múltiple
Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo,
una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional
puede escribirse como sigue:
Al numerador se le llama integral doble.
Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para
evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble
de una función sobre un área rectangular.
Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales
iteradas.
Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta
primera integración se incorpora en la segunda integración.
Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se
aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos
múltiples, a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la
segunda dimensión.
4.4 Aplicaciones
Las aplicaciones de la diferenciación e integración numérica
de fracciones son muy útiles en diversas áreas, como la física, la ingeniería,
la economía, la estadística y la matemática en general. A continuación, se
describen algunas de las principales aplicaciones:
Aproximación de funciones: La diferenciación e integración
numérica de fracciones se utiliza para aproximar el valor de una función en un
punto determinado. Esto es especialmente útil cuando la función es muy
complicada o difícil de evaluar analíticamente. En este caso, la aproximación
numérica puede ser una herramienta muy útil.
Análisis de datos: En estadística, la diferenciación e
integración numérica de fracciones se utiliza para calcular las derivadas y las
integrales de las funciones que representan los datos. Estos cálculos pueden
proporcionar información importante sobre la distribución de los datos y su
comportamiento.
Modelado de sistemas físicos: En la física y la ingeniería,
la diferenciación e integración numérica de fracciones se utiliza para modelar
el comportamiento de sistemas físicos. Por ejemplo, se puede utilizar para
calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento, la tasa de
cambio de una temperatura en un sistema termodinámico, o la tasa de cambio de
la concentración de una sustancia en una reacción química.
Videos:
1. La siguiente ecuación representa un movimiento sobreamortiguado de un sistema
masa – resorte:
Donde
,
es la constante de amortiguamiento,
= es la masa del objeto,
= 1.5 Kg. y
es el valor de la constante del resorte por unidad de masa. Si tenemos
que
= 4 y los datos tabulados a continuación
1. La siguiente ecuación representa un movimiento sobreamortiguado de un sistema
masa – resorte:
Donde
,
es la constante de amortiguamiento,
= es la masa del objeto,
= 1.5 Kg. y
es el valor de la constante del resorte por unidad de masa. Si tenemos
que
= 4 y los datos tabulados a continuación
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