Metodo de Interpolacion

 

Interpolación lineal

La interpolación lineal consiste en estimar la ubicación de un punto dentro de un intervalo numérico, suponiendo que los valores extremos de dicho intervalo están unidos por una recta. Conocida la ecuación de esta recta, es posible ubicar el punto desconocido.

La idea se esquematiza en la siguiente figura, en la cual se muestra un acercamiento a la gráfica de una función entre los puntos A y B. Suponiendo que estos puntos están cercanos, es posible aproximar la curva que los une mediante una recta y encontrar así los puntos intermedios.

Figura 1.- Para hacer una interpolación lineal entre los puntos A y B se ha de suponer que están unidos por una recta . Fuente: F. Zapata.

También se puede aproximar la curva que une a los puntos dados mediante una función cuadrática u otro polinomio. Sin embargo la recta tiene la ventaja de su sencillez matemática, por lo cual resulta fácil de manejar, aunque siendo la interpolación más simple de todas, es posible que el resultado no sea tan preciso como el que se obtiene al emplear otras funciones.

Fórmulas

Se tienen dos puntos de coordenadas [xo, f(xo)] y [x1, f(x1)] entre los cuales está el punto [x, g(x)], cuyas coordenadas se desea conocer.

El primer paso consiste en unir los puntos conocidos mediante un segmento de recta, sobre el cual se encuentran las coordenadas del punto a calcular.

Figura 2.- Interpolación lineal para hallar el punto P sobre la recta interpolante g(x), ubicado entre los puntos A y B de f(x). Fuente: F. Zapata.

Como se puede ver, se forman dos triángulos rectángulos: ABC y APD, que además tienen un ángulo agudo en común, por lo que son triángulos semejantes, a los que se puede aplicar el teorema de Thales:

Sustituyendo la medida de los segmentos de acuerdo a la gráfica, se obtiene la siguiente relación:

De allí se procede a despejar g(x):

 Llamando:

f1(x1) = y1 ; fo(xo) = yo ; g(x) = y

La ecuación de arriba se transforma en:

Margen de error

Cuando se aproxima una función con este método, la cota de error viene dada por el valor absoluto de la diferencia entre la función f(x) y la recta interpoladora g(x):

Error = │f(x) − g(x) │

¿Cómo hacer una interpolación lineal?

Llevar a cabo una interpolación lineal es muy simple, solo hay que seguir estos pasos:

Paso 1

Determinar el punto incógnita P(x,y).

Paso 2

Establecer los dos puntos que limitan el intervalo donde se encuentra el valor a calcular, es decir, los puntos (xo,yo) y (x1, y1).

Paso 3

Sustituir todos los valores en la ecuación:

Y calcular el resultado.

Ejemplos de interpolación lineal

Ejemplo 1

Se quiere hallar el valor aproximado de ln 3 a través de una interpolación lineal, dados los siguientes valores:

ln 2 = 0.693147 y ln 4 = 1.386294

Comparar el resultado con el valor de ln 3 obtenido a través de una calculadora y determinar el margen error cometido.

• Paso 1

Para encontrar el valor aproximado de ln 3 hay que proceder siguiente modo: en primer lugar se establece la incógnita, que es y = ln 3, junto a su correspondiente valor de “x”: x = 3. Este es el punto que se quiere calcular: (3, ln 3).

• Paso 2

Después hay que establecer los puntos límites del intervalo con los valores conocidos. Se pide hacerlo con la siguiente pareja de puntos:

• Límite inferior: [xo = 2; yo = ln 2 = 0.693147]
• Límite superior: [x1 = 4; y1 = ln 4 = 1.386294]

• Paso 3

Los valores determinados en los pasos 1 y 2 se sustituyen cuidadosamente en la ecuación para generar el resultado de la aproximación a ln 3:

El valor real de ln 3 obtenido mediante calculadora es:

ln 3 =1.098612

Y el margen de error es:

Error = │1.098612 − 1.03971 │= 0.059

El error porcentual de la interpolación se calcula dividiendo el error entre el valor real de ln3 y multiplicando por 100 %:

Error porcentual = (Error/Valor real)× 100 = (0.059/1.098612)×100% = 5.4%

video: https://www.bing.com/videos/search?q=metodo+de+interpolacion&&view=detail&mid=2444CC4F497EC61BA3482444CC4F497EC61BA348&&FORM=VRDGAR